單元 4｜一元二次方程式

(1) 2x－5＝0：最高次只有 1 次，所以不是。

(2) (x－4)(x＋3)：只有代數式，沒有等號，不是方程式。

(3) －3x²＋15x＝－23：移到同一邊後仍有二次項 －3x²，且二次項係數不為 0，所以是。

(4) 6x²＋5x＝6x²＋25：兩邊同減 6x²，得到 5x＝25，只剩一次方程式，所以不是。

x² 的係數是 m²－1。

必須：
m²－1≠0
(m－1)(m＋1)≠0

所以 m≠1 且 m≠－1。

四個選項中，只有 －1 不可以。

原式：3x²－15x－5＝0。

(1) 3x²－15x＝5
兩邊同減 5：3x²－15x－5＝0。
所以相同：○。

(2) x²－5x＝5
兩邊同乘 3：3x²－15x＝15，亦即 3x²－15x－15＝0，和原式不同。
所以：×。

(3) 15x²－x－13＝0
兩邊同乘 15：3x²－15x－5＝0。
所以：○。

(4) 3x²－3x－1＝0，與原式係數不同，也不是把原式整體乘同一個非 0 數得到。
所以：×。

(1) 左邊＝(－1)(－1＋1)＝(－1)×0＝0≠－1，所以不是。

(2) (－1)²＋1＝1＋1＝2≠0，所以不是。

(3) 12(－1)²＋32(－1)＋1
＝12－32＋1
＝12－32＋22
＝0，所以是。

(4) (－1)²－3(－1)＋2＝1＋3＋2＝6≠0，所以不是。

把 x＝－3 代入：
(－3)²＋k(－3)＝3
9－3k＝3
－3k＝3－9
－3k＝－6
k＝2。

x＝1：
1＋p＋q＝0　……①

x＝－1：
1－p＋q＝0　……②

①－②：
(1＋p＋q)－(1－p＋q)＝0
2p＝0
p＝0。

再代回①：1＋0＋q＝0，所以 q＝－1。

因此正確的是 (1) p＝0。

① A×B＝0
→ A＝0 或 B＝0。

② (ax＋b)(cx＋d)＝0
→ ax＋b＝0 或 cx＋d＝0
→ x＝－ba 或 x＝－dc。

(1)
x－2＝0 或 3x＋1＝0
x＝2 或 3x＝－1
x＝2 或 x＝－13。

(2)
4x－3＝0 或 2x＋5＝0
4x＝3 或 2x＝－5
x＝34 或 x＝－52。

(1)
5x²－10x＝0
5x(x－2)＝0
x＝0 或 x－2＝0
所以 x＝0、2。

(2)
因為 2－x＝－(x－2)，所以
(x－2)(2x＋5)－(2－x)(5x＋2)
＝(x－2)(2x＋5)＋(x－2)(5x＋2)
＝(x－2)[(2x＋5)＋(5x＋2)]
＝(x－2)(7x＋7)
＝7(x－2)(x＋1)＝0
所以 x＝2、－1。

(3)
3x(3x＋2)－6(3x＋2)＝0
(3x＋2)(3x－6)＝0
3(3x＋2)(x－2)＝0
所以 x＝－23、2。

(4)
(x＋3)²－4(x＋3)＝0
(x＋3)[(x＋3)－4]＝0
(x＋3)(x－1)＝0
所以 x＝－3、1。

(1)
x²－4²＝0
(x－4)(x＋4)＝0
x＝4、－4。

(2)
[(4x＋3)－(x－2)][(4x＋3)＋(x－2)]＝0
(3x＋5)(5x＋1)＝0
x＝－53、－15。

(3)
(－4x＋1)²－[3(x＋2)]²＝0
[(－4x＋1)－3(x＋2)][(－4x＋1)＋3(x＋2)]＝0
(－7x－5)(－x＋7)＝0
x＝－57、7。

(1)
x²＋12x＋36＝(x＋6)²＝0
x＋6＝0
x＝－6（重根）。

(2)
9x²＋24x＋16＝(3x＋4)²＝0
3x＋4＝0
x＝－43（重根）。

(3)
4x²－20x＋25＝0
(2x－5)²＝0
2x－5＝0
x＝52（重根）。

(1)
x²－7x＋12
＝(x－3)(x－4)＝0
x＝3、4。

(2)
2x²－5x－3
＝(2x＋1)(x－3)＝0
x＝－12、3。

(3)
16x²－32x－48＝0
16(x²－2x－3)＝0
16(x－3)(x＋1)＝0
x＝3、－1。

(4)
兩邊同乘 12：
3x²＋4x－4＝0
(3x－2)(x＋2)＝0
x＝23、－2。

(x－3)(2x＋5)＝0
x＝3 或 x＝－52。

因為 3＞－52，所以
a＝3，b＝－52。

a＋2b
＝3＋2(－52)
＝3－5
＝－2。

(1)
2x(x－4)＝0
x＝0、4。

(2)
(x＋1)[(x－4)＋(2x＋1)]＝0
(x＋1)(3x－3)＝0
3(x＋1)(x－1)＝0
x＝－1、1。

(3)
(2x＋1)(3x－5)－(2x＋1)(x－3)＝0
(2x＋1)[(3x－5)－(x－3)]＝0
(2x＋1)(2x－2)＝0
2(2x＋1)(x－1)＝0
x＝－12、1。

(4)
(2x＋3)(x－6)－6(x－6)²＝0
(x－6)[(2x＋3)－6(x－6)]＝0
(x－6)(2x＋3－6x＋36)＝0
(x－6)(39－4x)＝0
x＝6、394。

(1)
(x＋2)²－1²＝0
[(x＋2)－1][(x＋2)＋1]＝0
(x＋1)(x＋3)＝0
x＝－1、－3。

(2)
(2x＋1)²－(x－2)²＝0
[(2x＋1)－(x－2)][(2x＋1)＋(x－2)]＝0
(x＋3)(3x－1)＝0
x＝－3、13。

(1)
9x²－6x＋1＝(3x－1)²＝0
3x－1＝0
x＝13（重根）。

(2)
x²＋6x＋9＝(x＋3)²＝0
x＋3＝0
x＝－3（重根）。

(1)
3x²＋10x－8
＝(3x－2)(x＋4)＝0
x＝23、－4。

(2)
8x²－24x＋16＝0
8(x²－3x＋2)＝0
8(x－1)(x－2)＝0
x＝1、2。

(3)
14x²＋1＝1312x
兩邊同乘 12：
3x²＋12＝13x
3x²－13x＋12＝0
(3x－4)(x－3)＝0
x＝43、3。

(1)
(x－1)(x－5)＝12
x²－6x＋5＝12
x²－6x－7＝0
(x－7)(x＋1)＝0
x＝7、－1。

(2)
x²－6(1－x)＝1
x²－6＋6x＝1
x²＋6x－7＝0
(x＋7)(x－1)＝0
x＝－7、1。

(3)
(x²－4x＋4)＋x²＋(x²＋4x＋4)＝35
3x²＋8＝35
3x²＝27
x²＝9
(x－3)(x＋3)＝0
x＝3、－3。

(4)
(x＋2)(x－6)3＝x(x－1)4
兩邊同乘 12：
4(x＋2)(x－6)＝3x(x－1)
4(x²－4x－12)＝3x²－3x
4x²－16x－48＝3x²－3x
x²－13x－48＝0
(x－16)(x＋3)＝0
x＝16、－3。

(1)
令 A＝5x－4。
A²－6A＋9＝0
(A－3)²＝0
A＝3
5x－4＝3
5x＝7
x＝75。

(2)
令 A＝x－1。
A²－2A－8＝0
(A－4)(A＋2)＝0
A＝4 或 A＝－2。

x－1＝4 → x＝5；
x－1＝－2 → x＝－1。
所以 x＝5、－1。

(3)
令 A＝x＋1，B＝x－4。
原式＝3A²＋AB－2B²
＝(3A－2B)(A＋B)＝0。

第一個因式：
3(x＋1)－2(x－4)＝0
3x＋3－2x＋8＝0
x＋11＝0
x＝－11。

第二個因式：
(x＋1)＋(x－4)＝0
2x－3＝0
x＝32。

所以 x＝－11、32。

原式：
2x－5x²＝0
x(2－5x)＝0

正確解應為：
x＝0 或 2－5x＝0
x＝0 或 x＝25。

第一步 2x＝5x² 沒有問題。
第二步直接同除以 x，等於先假設 x≠0，因此把 x＝0 這一根漏掉。

所以從 第二步 開始錯。

移到同一邊：
(x－2)(4x－3)－(x－2)(x－5)＝0

提出 (x－2)：
(x－2)[(4x－3)－(x－5)]＝0
(x－2)(3x＋2)＝0

x＝2 或 3x＋2＝0
x＝2 或 x＝－23。

一根為正，一根為負，所以選 (C)。

比較：
－4a＝－60
a＝15。

檢查常數項：
3a²＝3×15²＝3×225＝675，正確。

所以：
x²－60x＋675
＝(x－15)(x－45)＝0。

x＝15、45。

(1)
x²＋8x－33
＝(x＋11)(x－3)＝0
兩根為 3、－11。
因 a＞b，所以 a＝3，b＝－11。
a－2b＝3－2(－11)＝3＋22＝25。

(2)
要使 x²＋8x－a 能用整數因式分解，需找兩整數「和為 8、積為－a」。

a＝20 時：10＋(－2)＝8，10×(－2)＝－20。
所以 x²＋8x－20＝(x＋10)(x－2)，有整數根。
答案 20。

(3)
常數 18 的正因數配對：1×18、2×9、3×6。
因為 a＞0，兩根乘積為正且和為－a＜0，所以兩根都負。

(－1)+(－18)=－19 → a=19，不是一位數。
(－2)+(－9)=－11 → a=11，不是一位數。
(－3)+(－6)=－9 → a=9，符合。

所以 a＝9。

(1)
2x²－xy－3y²＝0
(2x－3y)(x＋y)＝0。

所以：
2x－3y＝0 → 2x＝3y → x：y＝3：2；
或 x＋y＝0 → x＝－y → x：y＝－1：1。

(2)
8x²－15y²＝2xy
8x²－2xy－15y²＝0
(4x＋5y)(2x－3y)＝0。

若 4x＋5y＝0，x、y 異號，會使 xy＜0，不合 xy＞0。

所以只能：
2x－3y＝0
2x＝3y
x：y＝3：2。

(1)
令 A＝|x|，A≥0。
因 |x|²＝x²，所以：
A²＋A－6＝0
(A＋3)(A－2)＝0
A＝－3 或 2。
因 A≥0，所以 A＝2。
|x|＝2 → x＝2、－2。

(2)
令 A＝|x|，A≥0。
A²－A－12＝0
(A－4)(A＋3)＝0
A＝4 或－3。
取 A＝4。
|x|＝4 → x＝4、－4。

(3)
令 A＝|x－1|，A≥0。
A²－A＋12＝0。

配方：
A²－A＋12
＝(A－12)²＋474。
平方一定≥0，所以整式一定＞0，不可能等於0。

因此本題 無實數解。

原式：
(a－b)x²＋(b－c)x＋(c－a)。

把它因式分解：
(x－1)[(a－b)x＋(a－c)]。

展開檢查：
(x－1)[(a－b)x＋(a－c)]
＝(a－b)x²＋(a－c)x－(a－b)x－(a－c)
＝(a－b)x²＋(b－c)x＋(c－a)。

所以：
(x－1)[(a－b)x＋(a－c)]＝0。

x－1＝0 → x＝1；
(a－b)x＋(a－c)＝0
(a－b)x＝c－a
x＝c－aa－b。

因題目稱為一元二次方程式，所以 a－b≠0。

(1)
x²－7x＋12＝2
x²－7x＋10＝0
(x－2)(x－5)＝0
x＝2、5。

(2)
4x－2＝3x²＋9x
3x²＋5x＋2＝0
(3x＋2)(x＋1)＝0
x＝－23、－1。

(3)
x²－4x＋4＋x²＝x²＋4x＋4
x²－8x＝0
x(x－8)＝0
x＝0、8。

(4)
(x－5)(x＋1)2＝x(x－7)3
兩邊同乘6：
3(x－5)(x＋1)＝2x(x－7)
3(x²－4x－5)＝2x²－14x
3x²－12x－15＝2x²－14x
x²＋2x－15＝0
(x＋5)(x－3)＝0
x＝－5、3。

(1)
令 A＝2x＋5。
A²－4A＋4＝0
(A－2)²＝0
A＝2。

2x＋5＝2
2x＝－3
x＝－32（重根）。

(2)
令 A＝x＋1。
A²＋2A－15＝0
(A＋5)(A－3)＝0
A＝－5 或 3。

x＋1＝－5 → x＝－6；
x＋1＝3 → x＝2。

所以 x＝－6、2。

1. 兩邊同減 3x²：
－5x＋1＝4，只剩一次方程式，所以不是一元二次方程式。
→ ×。

2. AB＝0 時，至少一個因數必須為0。
→ ○。

3. 零乘積法則必須是「乘積＝0」。本題乘積＝1，不能把兩個因式各自令成1。
→ ×。

4. 正確做法：
(x＋5)[(x＋6)－(2x＋3)]＝0
(x＋5)(3－x)＝0
x＝－5 或 3。
若直接除以 x＋5，就會漏掉 x＝－5。
→ ×。

若 a＝16：
x²－6x－16
＝(x－8)(x＋2)。

因為：
－8＋2＝－6，
(－8)×2＝－16。

所以方程式有整數根 x＝8、－2。

其餘選項無法找到整數因數配對同時滿足「和為－6、積為－a」。

故選 (2) 16。

步驟一正確：
2x²＋5x＋2＝(2x＋1)(x＋2)，
x²－4＝(x＋2)(x－2)。

但步驟二把兩邊的 (x＋2) 直接消去。
如果 x＋2＝0，也就是 x＝－2，原方程式其實成立。

正確應寫：
(x＋2)[(2x＋1)－(x－2)]＝0
(x＋2)(x＋3)＝0
x＝－2 或－3。

所以從 步驟二 開始錯。

(1) 根為 a、b：
(x－a)(x－b)＝0
展開：
x²－(a＋b)x＋ab＝0。

(2) 根為 a，且是重根：
(x－a)(x－a)＝0
(x－a)²＝0。

(1)
(x－1)(x＋2)＝0
x²＋x－2＝0。

(2)
(x＋3)²＝0
x²＋6x＋9＝0。

(3)
(x＋1)(x－149)＝0。
為避免分數，可把第二個因式寫成 9x－14：
(x＋1)(9x－14)＝0
9x²－5x－14＝0。

根為－5、2，所以：
(x＋5)(x－2)＝0。

題目的二次項係數是2，因此整個方程式乘2：
2(x＋5)(x－2)＝0

先展開：
(x＋5)(x－2)
＝x²＋3x－10。

乘2：
2x²＋6x－20＝0。

與 2x²＋bx＋c＝0 比較：
b＝6，c＝－20。

(2x－m)(x＋m)＝0

2x－m＝0 → x＝m2；
x＋m＝0 → x＝－m。

題目給的兩根是 1、－2。

令 m2＝1：
m＝2。
此時另一根－m＝－2，也完全符合。

所以 m＝2。

(1)
錯誤方程式的兩根為－4、3：
(x＋4)(x－3)＝0
x²＋x－12＝0。

只有一次項的符號寫錯，所以正確方程式把 ＋x 改成－x：
x²－x－12＝0。

因式分解：
x²－x－12＝(x－4)(x＋3)＝0。
正確根：x＝4、－3。

(2)
為方便比較，先把方程式整體除以二次項係數，使首項係數化成1；這不改變根。

第一人只看錯一次項係數，得到根2、7：
(x－2)(x－7)=x²－9x＋14。
所以「常數項」沒有看錯，正確常數項是 14。

第二人只看錯常數項，得到根1、－10：
(x－1)(x＋10)=x²＋9x－10。
所以「一次項係數」沒有看錯，正確一次項係數是 9。

因此正確方程式：
x²＋9x＋14＝0
＝(x＋7)(x＋2)＝0。

正確根：x＝－7、－2。

兩根都為 32，所以：
4(x－32)²＝0。

展開：
(x－32)²
＝x²－3x＋94。

乘4：
4x²－12x＋9＝0。

和 4x²＋ax＋b＝0 比較：
a＝－12，b＝9。

(x－1)(x＋3)＝0

展開：
x²＋3x－x－3＝0
x²＋2x－3＝0。

比較 x²＋ax＋b＝0：
a＝2，b＝－3。

錯誤方程式根為－1、6：
(x＋1)(x－6)＝0
x²－5x－6＝0。

所以一次項係數 a＝－5。
又因為只看錯常數項的正負號，錯誤常數為－6，正確常數應為＋6。

正確方程式：
x²－5x＋6＝0
(x－2)(x－3)＝0。

所以正確根為 2、3。